在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD在图2中，A ₁ E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A ₁ EB为二面角A _1- EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A ₁ E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A ₁ E⊥平面BEF，
即A ₁ E⊥平面BEP



（3）在图2中，A ₁ E不垂直A ₁ B，
∴A ₁ E是平面A ₁ BP的垂线，又A ₁ E⊥平面BEP，
∴A ₁ E⊥BE．
从而BP垂直于A ₁ E在平面A ₁ BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A ₁ E在平面A ₁ BP内的射影为A ₁ Q，且A ₁ Q交BP于点Q，则∠E ₁ AQ就是A ₁ E与平面A ₁ BP所成的角，且BP⊥A ₁ Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形．又A ₁ E⊥平面BEP，
∴A ₁ B=A ₁ P，
∴Q为BP的中点，且 EQ=
3 ，又A ₁ E=1，
在Rt△A ₁ EQ中， tan∠E A 1 Q=
EQ
A 1 E =
3 ，
∴∠EA ₁ Q=60°，
∴直线A ₁ E与平面A ₁ BP所成的角为60°



在图3中，过F作FM⊥A ₁ P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有 PQ=
1
2 BP=1
∴PF=PQ①，
∵A ₁ E⊥平面BEP， EQ=EF=
3
∴A ₁ E=A ₁ Q，
∴△A ₁ FP≌△A ₁ QP从而∠A ₁ PF=∠A ₁ PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A ₁ P-F的平面角．
在Rt△A ₁ QP中，A ₁ Q=A ₁ F=2，PQ=1，又∴ A 1 P=
5 ．
∵MQ⊥A ₁ P，∴ MQ=
A 1 Q•PQ
A 1 P =
2
5
5
∴ MF=
2
5
5
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得 QF=
3
在△FMQ中， cos∠FMQ=
M F 2 +M Q 2 -Q F 2
2MF•MQ =-
7
8
∴二面角B-A ₁ P-F的大小为 π-arccos
7
8