（2009•奉贤区二模）（1）已知α，β∈(0，π2)，且tanα•tanβ＜1，比较α+β与[π/2]的大小；

（2009•奉贤区二模）（1）已知α，β∈(0，

)，且tanα•tanβ＜1，比较α+β与[π/2]的大小；
（2）试确定一个区间D，D⊆(−

，

)，对任意的α、β∈D，当α+β＜

时，恒有sinα＜cosβ；并说明理由．
说明：对于第（2）题，将根据写出区间D所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

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晋江阿连花朵

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解题思路：（1）利用正切化为正弦、余弦，和角公式求出cos（α+β）＞0，根据α，β∈(0，

)，推出α+β与

2]的大小．
（2）直接在D⊆(−

，

)内找出一个子区间，区间是固定的，也可以是变化的，对任意的α、β∈D，当α+β＜

时，恒有sinα＜cosβ，利用函数的单调性，三角函数的符合特征，加以证明即可．

（1）∵tanα•tanβ＜1，α，β∈(0，
π
2)
∴[sinα•sinβ/cosα•cosβ＜1＝＞sinα•sinβ＜cosα•cosβ（2分）=＞cos（α+β）＞0（2分）
∵α+β∈（0，π）
∴α+β＜
π
2]（2分）
（2）第一类（1）若取D＝(−
π
2，0)或取D＝[−
π
3，−
π
6]等固定区间且D是(−
π
2，0)的子集并说明理由者给（2分），
（2）若取D=[γ₁，γ₂]，−
π
2＜γ1＜γ2＜0，并说明理由者给（3分）
理由：
若取D＝(−
π
2，0)，α+β＜
π
2，
则-1＜sinα＜0，0＜cosβ＜1，即sinα＜cosβ；
第二类（1）若取D＝(0，
π
2)或取D＝[
π
6，
π
3]等固定区间且D是(0，
π
2)的子集，且解答完整得（4分）
（2）若取D是(0，
π
2)的子集且区间的一端是变动者．且解答完整得（5分）
（3）若取D=[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜
π
2，且解答完整得（6分）
取D=[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜
π
2
证明如下，设α，β∈[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜
π
2，
又α+β＜
π
2，
则α＜
π
2−β，
因为-γ₂≤-β≤γ₁，[π/2−γ2≤
π
2−β≤
π
2−γ1，
而
π
2−γ2＞0，

点评：
本题考点：不等式比较大小；正弦函数的单调性．

考点点评：本题考查比较大小，正弦函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

1年前

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