如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P、Q分别是AB、AC上的一动点,且满足BP=AQ

（1）证明：连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
∴AD=BD∠DAQ=∠DBPBP=AQ​,
∴△BPD≌△AQD（SAS）,
∴PD=QD,∠ADQ=∠BDP,
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°,即∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形；
当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°,AB=AC,D为BC中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠B=∠C=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠A=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP=12AB,
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．