已知f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意a，b∈R且当a+b≠0时，都满足f(a)+f(b)a+b＞0．

（1）不妨设x₁＜x₂，由
f(a)+f(b)
a+b＞0，
得
f(x1)+f(−x2)
x1+(−x2)＞0，
又f（x）是定义域为R的奇函数，
∴
f(x1)−f(x2)
x1−x2＞0，
而x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）是奇函数，
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0⇔f（mt²+1）＞f（mt-1），
∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立
即mt²+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立
即mt²-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．
当m=0时，不等式即为2＞0恒成立，合题意；
当m≠0时，有

m＞0
△＝m2−8m＜0，
即0＜m＜8
综上：实数m的取值范围为0≤m＜8．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数单调性与奇偶性的应用，综合考查函数性质的综合应用．