已知直线l：（a-2）y=（3a-1）x-1①求证：无论a为何值时，直线总过第一象限；②为使这条直线不过第二象限，求a的

解题思路：①由于（3x-y）+（-x+2y-1）=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点即可得出结论；
②先对a进行分类讨论：当a=2时，直线为x＝

1

5

，不过第二象限；当a≠2时，a≥2时直线不过第二象限．从而得到结果；
③令x=0和令y=0得到直线在坐标轴上截距，再利用三角形面积公式得到S关于a的函数表达式，最后利用函数的单调性求得其最小值并求此时直线l的方程．

①∵a（3x-y）+（-x+2y-1）=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点(
1
5，
3
5)．
∴直线系恒过第一象限内的定点(
1
5，
3
5)．
②当a=2时，直线为x＝
1
5，不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为y＝
3a−1
a−2x−
1
a−2
不过第二象限的充要条件为


3a−1
a−2＞0
−
1
a−2≤0⇒a＞2
∴a≥2时直线不过第二象限．
③令x=0得y＝
−1
a−2
令y=0得x＝
1
3a−1∴S＝
1
2：(−
1
3a−1)×(−
1
a−2)＝
1
2×
1
3a2−7a+2
∵S在a∈[-2，-1]↗∴当a=-2时Smin＝
1
56
此时l：7x-4y+1=0

点评：
本题考点： 恒过定点的直线；确定直线位置的几何要素．

考点点评： 本小题主要考查直线的方程、确定直线位置的几何要素、恒过定点的直线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

当a=2时斜率不存在，所以直线即为x=1/5
此直线过第一象限
当a≠2时，斜率存在，则：y=（3a-1）/（a-2）x - 1/（a-2）
此时又分：当：（3a-1）/（a-2）大于零，小于零
在详细分类讨论，结合一次函数图象就可以得到了