向刘老师请教一道关于矩阵可逆的题

向刘老师请教一道关于矩阵可逆的题
设A是n（n大于等于2）阶矩阵,A^2=A但A不等于E,A*是A的伴随矩阵.证明：A*不可逆
yy6525 1年前 已收到1个回答 举报
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异域封尘 幼苗

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这个问题,甘老师给你回答吧.反证法,如果A*可逆,那么A也可逆.A^2=A.即（A-E）A=0.由于A可逆,对上式子两端的右侧乘以A^-1.得到A-E=0.即A=E,矛盾

1年前 追问

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yy6525 举报

为什么A*可逆，A就可逆？

举报 异域封尘

因为AA*=dE。当A*可逆的时候，它的逆就是A/d。那么A的逆就是A*/d。也可以通过行列式来看，|A*|=|A|^(n-1)。当A*可逆时，A*的行列式不为0，那么A的行列式也不为0，因此A可逆
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