在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90度,∠BAC=∠CAD=60度,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA
在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90度,∠BAC=∠CAD=60度,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=21.求三棱锥P-BCD的体积V.2.若F为PC的中点,求证:PC⊥平面AEF
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（Ⅰ）在Rt△ABC中,AB＝1,
∠BAC＝60°,∴BC＝根号3 ,AC＝2．
在Rt△ACD中,AC＝2,∠CAD＝60°,
∴CD＝2根号3 ,AD＝4．
∴SABCD＝ 1/2AB*BC+1/2AC*CD=根号3/2+1/2*2*2根号3=5根号3/2
则V＝1/3*5根号3/2* 2=5根号3/3．
（Ⅱ）∵PA＝CA,F为PC的中点,
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD,PA∩AC＝A,
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点,F为PC中点,
∴EF‖CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF＝F,∴PC⊥平面AEF．
∠BAC＝60°,∴BC＝根号3 ,AC＝2．
在Rt△ACD中,AC＝2,∠CAD＝60°,
∴CD＝2根号3 ,AD＝4．
∴SABCD＝ 1/2AB*BC+1/2AC*CD=根号3/2+1/2*2*2根号3=5根号3/2
则V＝1/3*5根号3/2* 2=5根号3/3．
（Ⅱ）∵PA＝CA,F为PC的中点,
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD,PA∩AC＝A,
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点,F为PC中点,
∴EF‖CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF＝F,∴PC⊥平面AEF．
1年前
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