已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y 2 =2px（p＞0）上，原点在直线AB上的射影为点D（2，1）
| 已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y 2 =2px（p＞0）上，原点在直线AB上的射影为点D（2，1），求抛物线的方程． |
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∵原点在直线AB上的射影为点D（2，1），
∴直线AB的斜率为k AB =-2，
∴线AB的方程l AB ：y-1=-2（x-2），
整理得：2x+y-5=0…（4分）
将2x=5-y代入y 2 =2px（p＞0）
得y 2 +py-5p=0，…（6分）
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 ，x 2 是方程y 2 +py-5p=0的两根．
∵OA⊥OB，
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，…（8分）
∴y 1 y 2 -（y 1 +y 2 ）+5=0，
∴-5p+p+5=0，
∴p=
5
4 ，
∴y 2 =
5
2 x…（12分）
∴直线AB的斜率为k AB =-2，
∴线AB的方程l AB ：y-1=-2（x-2），
整理得：2x+y-5=0…（4分）
将2x=5-y代入y 2 =2px（p＞0）
得y 2 +py-5p=0，…（6分）
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 ，x 2 是方程y 2 +py-5p=0的两根．
∵OA⊥OB，
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，…（8分）
∴y 1 y 2 -（y 1 +y 2 ）+5=0，
∴-5p+p+5=0，
∴p=
5
4 ，
∴y 2 =
5
2 x…（12分）
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