（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧
（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k-1）x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与双曲线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与双曲线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．
（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2-1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2-1=x+1，
解得：x=-1或x=2，
当x=-1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2-1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF=yF-yP=（x+1）-（x2-1）=-x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=[1/2]PF（xF-xA）+[1/2]PF（xB-xF）=[1/2]PF（xB-xA）=[3/2]PF
∴S△ABP=[3/2]（-x2+x+2）=-[3/2]（x-[1/2]）2+[27/8]
当x=[1/2]时，yP=x2-1=-[3/4]．
∴△ABP面积最大值为[27/8]，此时点P坐标为（[1/2]，-[3/4]）．
（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（-[1/k]，0），F（0，1），OE=[1/k]，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=
(
1
k)2+1=
1+k2
k．
令y=x2+（k-1）x-k=0，即（x+k）（x-1）=0，解得：x=-k或x=1．
∴C（-k，0），OC=k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=[k/2]．
∴EN=OE-ON=[1/k]-
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义．
1年前
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