（2014•镇江）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点，过点（0，4）作x
（2014•镇江）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．
（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
（2）小丽发现：将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），[PA/AB]=[1/t]．
①写出C点的坐标：C（______，______）（坐标用含有t的代数式表示）；
②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．
（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
（2）小丽发现：将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），[PA/AB]=[1/t]．
①写出C点的坐标：C（______，______）（坐标用含有t的代数式表示）；
②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．
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解题思路：（1）把P的纵坐标代入抛物线的解析式得到关于x的方程，解的方程的解，根据根与系数的关系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式；
（2）根据旋转的性质得到Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），得出新抛物线的对称轴是y轴，然后求得抛物线的顶点到直线PQ的距离为4，即可判断新抛物线顶点应为坐标原点．
（3）①根据三角形相似即可求得C的坐标；②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax2，新抛物线是y=ax2过P（2，4），求得新抛物线的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．
（2）根据旋转的性质得到Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），得出新抛物线的对称轴是y轴，然后求得抛物线的顶点到直线PQ的距离为4，即可判断新抛物线顶点应为坐标原点．
（3）①根据三角形相似即可求得C的坐标；②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax2，新抛物线是y=ax2过P（2，4），求得新抛物线的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．
（1）∵抛物线y=-x2+2nx-n2+2n过点P，P点的纵坐标为4，
∴4=-x2+2nx-n2+2n
解得：x1=n+
2n−4，x2=n-
2n−4，
∵PQ=x1-x2=4，
∴2
2n−4=4，
解得：n=4，
∴抛物线的函数关系式为：y=-x2+8x-8，
∴4=-x2+8x-8，
解得：x=2或x=6，
∴P（2，4）．
（2）正确；
∵P（2，4），PQ=4，
∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），
∴P与Q′正好关于y轴对称，
∴所得新抛物线的对称轴是y轴，
∵抛物线y=-x2+8x-8=-（x-4）2+8，
∴抛物线的顶点M（4，8），
∴顶点M到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．
（3）①如图2，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CN⊥MN于N，
∵[PA/AB]=[1/t]，
∴[PA/PC]=[1/t]，
∵△APM∽△PCN，
∴[PN/AM]=[CN/PM]=[PC/PA]=[t/1]，
∵AM=2-1=1，PM=4，
∴PN=t，CN=4t，
∴MN=4+t，
∴C（-4t+2，4+t），
②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax2，
∵新抛物线是y=ax2过P（2，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴旋转后的新抛物线是y=x2，
∵C（-4t+2，4+t）在抛物线y=x2上，
∴4+t=（-4t+2）2，
解得：t=0（舍去）或t=[17/16]，
∴t=[17/16]．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了方程根与系数的关系的应用，顶点坐标，旋转的性质，三角形相似的性质待定系数法求解析式等，解题的关键是根据题意从问题中整理出二次函数模型．
1年前
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