如图1，△ABC为正三角形，△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°，将△ABC沿BC边折叠到△A′BC的位置，使A′
如图1，△ABC为正三角形，△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°，将△ABC沿BC边折叠到△A′BC的位置，使A′B=A′D，E为BD中点，如图2．（Ⅰ）求证：A′E⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-A′C-D的余弦值．
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解题思路：（Ⅰ）连结EC，由已知条件推导出A′E⊥BD，A′E⊥EC，由此能够证明A′E⊥平面BCD．
（Ⅱ）设BC=2，以ED、EC、EA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能二面角B-A′C-D的余弦值．
（Ⅱ）设BC=2，以ED、EC、EA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能二面角B-A′C-D的余弦值．
（Ⅰ）证明：连结EC，∵E是BD的中点，∴A′E⊥BD，
又∵△BCD为等腰直角三角形，△ABC为正三角形，
∴A′E2=AB2-EC2，EC=BE，
∴A′E2=A′B2-EC2=A′C2-EC2，
∴A′E⊥EC，
∴A′E⊥平面BCD．
（Ⅱ）设BC=2，以ED、EC、EA为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（-
2，0，0），D（
2，0，0），C（0，
2，0），A（0，0，
2），
∴
CD＝(
2，−
2，0)，
CA＝(0，−
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
1年前
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