已知函数f（x）=ke x -x 2 （其中k∈R，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）由f′（x）=ke ^x -2x可知，
当k＜0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）=ke ^x -2x＜0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（Ⅱ）当k=2时，f（x）=2e ^x -x ² ，则f′（x）=2e ^x -2x，
令h（x）=2e ^x -2x，h′（x）=2e ^x -2，
由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2e ^x -2＞0，
于是h（x）=2e ^x -2x在（0，+∞）为增函数，
所以h（x）=2e ^x -2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2e ^x -2x＞0在（0，+∞）恒成立，
从而f（x）=2e ^x -x ² 在（0，+∞）为增函数，
故f（x）=2e ^x -x ² ＞f（0）=2．
（Ⅲ）函数f（x）有两个极值点x ₁ ，x ₂ ，则x ₁ ，x ₂ 是f′（x）=ke ^x -2x=0的两个根，
即方程 k=
2x
e x 有两个根，设 φ(x)=
2x
e x ，则 φ′(x)=
2-2x
e x ，
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使 k=
2x
e x 有两个根，只需 0＜k＜φ(1)=
2
e ．
故实数k的取值范围是 (0，
2
e ) ．
又由上可知函数f（x）的两个极值点x ₁ ，x ₂ 满足0＜x ₁ ＜1＜x ₂ ，
由 f′( x 1 )=k e x 1 -2 x 1 =0 ，得 k=
2 x 1
e x 1 ，
∴ f( x 1 )=k e x 1 -
x 21 =
2 x 1
e x 1 e x 1 -
x 21 = x 1 (2- x 1 )=-
x 21 +2 x 1 =-( x 1 -1 ) 2 +1 ，
由于x ₁ ∈（0，1），故 0＜-( x 1 -1 ) 2 +1＜1 ，
所以0＜f（x ₁ ）＜1．