在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1

解题思路：先利用ASA证明△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的边长等于正方形ABCD边长的[3/2]，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的[3/2]，然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积．

如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90°
∠ADO=∠BAA1，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴[OD/AO]=[AB
A1B=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=
3/2]BC，
以此类推A₂C₁=[3/2]A₁C，
A₃C₂=[3/2]A₂C₁，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的[3/2]倍，
∴第2011个正方形的边长为（[3/2]）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD=
12+22=
5，
∴第2011个正方形的面积为[（[3/2]）²⁰¹⁰BC]²=5（[3/2]）⁴⁰²⁰．
故答案为：5（[3/2]）⁴⁰²⁰．

点评：
本题考点： 相似多边形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强．