设函数f（x）=ln（x+1）-[ax/x+1]，（a∈R）；g（x）=（1+k）x-kx-1，k∈（-1，+∞）．

（Ⅰ）f（x）的定义域为（-1，+∞），f′(x)＝
1
x+1−
a(x+1)−ax
(x+1)2＝
x+1−a
(x+1)2，…（1分）
令⇒f′（x）=0，得x=a-1，
ⅰ）当a-1≤-1⇒a≤0时：
在区间（-1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增区间为（-1，+∞）；…（2分）
ⅱ）当a-1＞-1⇒a＞0时：
在区间（-1，a-1）上，f′（x）＜0恒成立，故f（x）的减区间为（-1，a-1）；…（3分）
在区间（a-1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增区间为（a-1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）ⅰ）k=0时，g（x）=0，所以g（x）_max=0； …（5分）
ⅱ）k≠0时，易知g′（x）=（1+k）^xln（1+k）-k，于是：g′（1）=（1+k）ln（1+k）-k，g′（0）=ln（1+k）-k，
由（Ⅰ）可知g′（1）＞0，下证g′（0）＜0，即证明不等式ln（1+x）-x＜0在x∈（-1，0）∪（0，+∞）上恒成立．
由上可知：不等式lln（x+1）＞[x/x+1]在x∈（-1，0）∪（0，+∞）上恒成立，若x∈（-1，0）∪（0，+∞），则−
x
x+1＝
1
x+1−1∈(−1，0)∪(0，+∞)，
故ln(
1
x+1)＝ln(1−
x
x+1)＞
−
x
x+1
−
x
x+1+1＝−x，
即当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，ln（x+1）＞-x，
从而ln（x+1），故当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，ln（x+1）-x＜0恒成立，即g′（0）＜0．…（7分）
又g（0）=g（1）=0，
综上，当k∈（-1，+∞），g（x）在[0，1]上的最大值为0．．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上递增，知f（x）＞0，
令x＝
1
n，有ln（n+1）-lnn＞[1/n+1]，得

n

k＝1
1
k+1＜ln(n+1)，
由（Ⅱ）已证ln（x+1）-lnx＜0，得ln（n+1）＜x，
令x＝
1
n，有ln（n+1）-lnn＞[1/n]得ln（n+1）＜

n

k＝1
1
k，
故

n

k＝1
1
k+1＜ln(n+1)＜

n

k＝1

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题对数函数、指数函数的性质，利用导数这个工具进行求解，题目比较综合，是中档题．