设实对称矩阵A的特征值全大于a，实对称矩阵B的特征值全大于b，证明A+B的特征值全大于a+b．

解．
因为：实对称矩阵A的特征值全大于a，
所以：A-aE为正定阵；
同理：A-bE为正定阵．
从而：（A-aE）+（A-bE）为正定阵．
假设λ为A+B的任一特征值，相应的特征向量为x，
即 （A+B）x=λx，
于是：
[（A-aE）+（B-bE）]x=（A+B）x-（a+b）Ex=（λ-（a+b））x，
所以：λ-（a+b）为（A-aE）+（A-bE）的特征值，
又因为：（A-aE）+（A-bE）为正定阵，
所以：λ-（a+b）＞0，
即 λ＞a+b，证毕．

点评：
本题考点： 正定矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 本题主要考查正定矩阵和实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，解类似题时需灵活运用其性质．