∫∫√(1-x^2-y^2),定义域D是圆域x^2+y^2≤1 ,

coffee0217 1年前 已收到1个回答 举报
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果果果果 春芽

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不是“定义域D”,而是“积分域D".
∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy
= ∫dt∫√(1-r^2)rdr
= -π∫√(1-r^2)d(1-r^2)
= (-2π/3)[(1-r^2)^(3/2)]
= 2π/3

1年前 追问

9

coffee0217 举报

感谢纠正。为什么∫<0,2π>dt变成了-π？

举报 果果果果

因为 rdr 化成 d(1-r^2) 需要乘一个(-1/2), 故2π变成了-π。这样写你就好理解了：
∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>√(1-r^2)rdr
= 2π∫<0,1>（-1/2)√(1-r^2)d(1-r^2)
= 2π(-1/2)(2/3)[(1-r^2)^(3/2)]<0,1>
= 2π/3
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