已知函数f（x）=4x-k（x2+2clnx）（c＞1，k∈R）有一个极值点是1．

解题思路：（I）由已知中函数f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）有一个极值点是1．根据函数在某点取得极值的条件，可得1是导函数f′（x）=4-k（2x+[2c/x]）的一个根，由此求出函数的另一个极值点后，即可讨论得出函数的单调性．
（II）由（I）的结论，我们可得f（x）在x=c时取极大值，在x=1时取极小值，即=f（c）=4c-k（c²+2clnc），N=f（1）=4-k，构造函数利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性可以比较 M−

1

2

N与

2c+1

c+1

的大小，从而得出函数h(c)＝M(c)−

1

2

N(c)−

2c+t

c+1

是否存在零点．

（I）由已知中k≠0
∵f（x）=4x-k（x²+2clnx）（c＞1，k∈R）
∴f′（x）=4-k（2x+[2c/x]）=
−2k x2−2ck+4x
x
∵函数f（x）=有一个极值点是1．
∴f′（1）=0
∴c=[2/k−1
令f′（x）=0，即-2kx²-2ck+4x=0，即2kx²-4x+2ck=0
∵此方程的一个根为1，
∴另一个根为c
∵c＞1，即0＜k＜1
∴函数f（x）在（1，c）上为增函数，在（0，1），（c，+∞）上为减函数
（II）由（I）知f（x）在x=c时取极大值，在x=1时取极小值
∴M=f（c）=4c-k（c²+2clnc），N=f（1）=4-k，其中
2
k−1＝c
∴M−
1
2N＝4c−
4clnc
c+1−2+
1
c+1]
∴M−
1
2N−
2c+1
c+1＝
2c2−2−4clnc
c+1
令g（c）=c²-1-2clnc，则g′（c）=2c-（2lnc+2）=2（c-1-lnc）
再令h（c）=c-1-lnc，则h′（c）=1-[1/c]=[c−1/c]
∵c＞1，∴h′（c）＞0
∴函数h（c）在（1，+∞）上为增函数
∴h（c）＞h（1）=0
∴g′（c）＞0，
∴函数g（c）在（1，+∞）上为增函数
∴g（c）＞g（1）=0
∴M−
1
2N−
2c+1
c+1＞0
∴M−
1
2N＞
2c+1
c+1．
∴函数h(c)＝M(c)−
1
2N(c)−
2c+t
c+1不存在零点．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，用导数研究函数的单调性，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，并分析出函数的单调性及极值点等信息，是解答本题的关键．