已知圆C经过两点P（-2，4），Q（3，-1），且在x轴上截得的弦长
题目给出了圆C经过两个已知点P（-2，4）和Q（3，-1），并且附加了一个关键条件：圆在x轴上截得的弦长为已知值（题目中未具体给出数值，我们暂设为长度L）。这是一个典型的解析几何问题，旨在求解该圆的方程。通常，我们设圆的标准方程为 (x-a)²+(y-b)²=r²，其中圆心为O(a, b)，半径为r。问题转化为如何利用三个独立条件来确定a, b, r这三个未知数。
首先，利用圆经过点P和点Q的条件，我们可以将两点坐标分别代入圆的标准方程，得到两个独立的方程：(-2-a)²+(4-b)²=r² 和 (3-a)²+(-1-b)²=r²。其次，关于“在x轴上截得的弦长”这一条件，需要深入理解。圆与x轴相交，意味着联立圆方程与y=0的方程后，得到的关于x的一元二次方程有两个实根x1和x2。弦长L即为 |x1 - x2|。根据代数知识，弦长L满足 L² = (x1 - x2)² = (x1 + x2)² - 4x1x2。而x1+x2与x1x2可以通过将y=0代入圆方程后，利用韦达定理得到，它们均与圆心坐标a, b和半径r有关。特别地，弦长L的平方也可以表示为 L² = 4(r² - b²)，因为圆心到x轴的距离为|b|，根据垂径定理，半弦长、半径和圆心到弦的距离构成直角三角形。
解题思路与方程建立
综合以上分析，我们可以建立一个由三个方程组成的方程组来求解a, b, r。前两个方程由点P和Q代入得到，它们相减可以消去r²，得到一个关于a和b的线性方程，这实际上是弦PQ的垂直平分线的方程。第三个方程则由弦长条件给出：r² - b² = (L/2)²。联立这个线性方程与第三个方程，并结合前两个方程中的任意一个（例如点P满足的方程），我们便能解出圆心坐标(a, b)和半径r，从而唯一确定圆的方程。整个解题过程逻辑清晰，体现了代数方法与几何性质（垂径定理）的紧密结合，是解析几何中求解圆方程的经典题型。
