高一物理一重为G的物体被一细绳悬挂,再对物体施加F=0.5G的作用力,使物体又在某位置静止.则悬线与竖直方向的最大夹角为
高一物理
一重为G的物体被一细绳悬挂,再对物体施加F=0.5G的作用力,使物体又在某位置静止.则悬线与竖直方向的最大夹角为?
一重为G的物体被一细绳悬挂,再对物体施加F=0.5G的作用力,使物体又在某位置静止.则悬线与竖直方向的最大夹角为?
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令绳拉力为T,
F=0.5G的方向为与竖直方向夹角α(斜向上,α∈【0,90°】
水平方向受力平衡：Fsinα=Tsinθ,即：0.5G sinα = Tsinθ .(1)
竖直方向受力平衡：Fcosα+Tcosθ = G,即：0.5G cosα+Tcosθ = G .(2)
由（1）得：T = 0.5G sinα/sinθ,代入（2）得：
0.5G cosα+ 0.5G sinα/tanθ = G
cosα + sinα/tanθ = 2
tanθ = sinα/(2-cosα)
令f(α) = sinα/(2-cosα)
f'(α) = (2-cosα)*cosα - sinα*（-(-sinα))]/(2-cos^2α) = (2cosα-1)/(2-cos^2α)
当α∈（0,60°）时,f'(α)＞0,f(α）单调增；
当α∈（60°,90°）时,f'(α)＜0,f(α）单调减.
当α=60°时,f(α）有极大值f(α)max = sin60°/(2-cos60°) = (√3/2)/(2-1/2) = √3/3
即tanθ = √3/3
∴θ最大值为30°
F=0.5G的方向为与竖直方向夹角α(斜向上,α∈【0,90°】
水平方向受力平衡：Fsinα=Tsinθ,即：0.5G sinα = Tsinθ .(1)
竖直方向受力平衡：Fcosα+Tcosθ = G,即：0.5G cosα+Tcosθ = G .(2)
由（1）得：T = 0.5G sinα/sinθ,代入（2）得：
0.5G cosα+ 0.5G sinα/tanθ = G
cosα + sinα/tanθ = 2
tanθ = sinα/(2-cosα)
令f(α) = sinα/(2-cosα)
f'(α) = (2-cosα)*cosα - sinα*（-(-sinα))]/(2-cos^2α) = (2cosα-1)/(2-cos^2α)
当α∈（0,60°）时,f'(α)＞0,f(α）单调增；
当α∈（60°,90°）时,f'(α)＜0,f(α）单调减.
当α=60°时,f(α）有极大值f(α)max = sin60°/(2-cos60°) = (√3/2)/(2-1/2) = √3/3
即tanθ = √3/3
∴θ最大值为30°
1年前 追问
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令绳拉力为T， F=0.5G的方向为与竖直方向夹角α(斜向上，α∈【0，90°】 水平方向受力平衡：Fsinα=Tsinθ，即：0.5G sinα = Tsinθ ......(1) 竖直方向受力平衡：Fcosα+Tcosθ = G，即：0.5G cosα+Tcosθ = G ......(2) 化简： G sinα = 2Tsinθ ......(3) G cosα = -2Tcosθ+2G ......(4) (3)^2+(4)^2： G^2sin^2α+G^2cos^2α = 4T^2sin^2θ+4T^2cos^2θ-8TGcosθ+4G^2 G^2 = 4T^2+4G^2-8Tcosθ cosθ = (3G^2+4T^2)/(8TG) = 3G/(8T) + T/(2G) = {√[3G/(8T)] - √[T/(2G)] }^2 + 2*√[3/8*1/2] = {√[3G/(8T)] - √[T/(2G)] }^2 + √3/2 ≥ √3/2 【∵{√[3G/(8T)] - √[T/(2G)] }^2≥0】 又：0≤θ≤90° ∴θ≤60° 最大θ角为60°
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