已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1＝3，D是BC中点，E是AA1中点．

解题思路：（Ⅰ）利用体积公式，可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（Ⅱ）证明面ABC⊥面BC₁，可得AD⊥面BC₁，即可证明AD⊥BC₁；
（Ⅲ）取CC₁中点F，连结DF，EF，证明面DEF∥面

A

1

C1B，即可证明DE∥面A₁C₁B．

（Ⅰ）V＝S△ABC•AA1＝
1
2×
2×
2×
3＝
3---------------------------------（3分）
（Ⅱ）证明：∵AB＝AC＝
2，∴△ABC为等腰三角形
∵D为BC中点，∴AD⊥BC---------------------------------（4分）
∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，∴面ABC⊥面BC₁------------------------（5分）
∵面ABC∩面BC₁=BC，AD⊂面ABC，
∴AD⊥面BC₁---------------------------------（6分）
∴AD⊥BC₁---------------------------（7分）
（Ⅲ）证明：取CC₁中点F，连结DF，EF，--------（8分）
∵D，E，F分别为BC，CC₁，AA₁的中点
∴EF∥A₁C₁，DF∥BC₁，-----------------（9分）
∵A₁C₁∩BC₁=C₁，DF∩EF=F
∴面DEF∥面
A 1C1B-----------------------（11分）
∵DE⊂面DEF
∴DE∥面A₁C₁B．-----------------------------（12分）

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查体积的计算，考查线面垂直，线面平行，正确运用线面垂直，线面平行的判定定理是关键．