对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：

（Ⅰ）取x ₁ =x ₂ =0，代入f（x ₁ +x ₂ ）≥f（x ₁ ）+f（x ₂ ），
可得f（0）≥f（0）+f（0）即f（0）≤0
由已知 x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（Ⅱ）显然g（x）=2 ^x ﹣1在[0，1]上满足g（x）≥0；
②g（1）=1．若x ₁ ≥0，x ₂ ≥0，且x ₁ +x ₂ ≤1，则有
g（x ₁ +x ₂ ）﹣[g（x ₁ ）+g（x ₂ ）]= ﹣1﹣[（ ﹣1）+（ ﹣1）]=（ ﹣1）（ ﹣1）≥0
故g（x）=2 ^x ﹣1满足条件①②③，
所以g（x）=2 ^x ﹣1为理想函数．对应函数 在x∈[0，1]上满足
①h（1）=1；
② x∈[0，1]，总有h（x）≥0；
③但当x ₁ ≥0，x ₂ ≥0，x ₁ +x ₂ ≤1时，例如 =x ₂ 时，h（x ₁ +x ₂ ）=h（1）=1，
而h（x ₁ ）+h（x ₂ ）=2h（ ）= ，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．
（Ⅲ）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．
若f（x ₀ ）＞x ₀ ，则f（x ₀ ）≤f[f（x ₀ ）]=x ₀ ，前后矛盾；
若f（x ₀ ）＜x ₀ ，则f（x ₀ ）≥f[f（x ₀ ）]=x ₀ ，前后矛盾．
故f（x ₀ ）=x ₀ ．