已知函数f（x）=[1/x]+aln（x+1）

解题思路：（I）当a=2时，f′（x）=

2x2−x−1

x2(x+1)

=

(x−1)(2x+1)

x2(x+1)

，再根据导数与单调性的关系及极值的定义求出f（x）的单调区间和极值．
（II）若f（x）为增函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≥0恒成立，若f（x）为减函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≤0恒成立，由此得到参数所满足的不等式即可求出实数a的取值范围．

（I）当a=2时，f（x）=[1/x]+2ln（x+1），定义域是（-1，0）∪（0，+∞），
f′(x)＝−
1
x2+
2
x+1，即f′（x）=
2x2−x−1
x2(x+1)=
(x−1)(2x+1)
x2(x+1)，
由f′（x）＞0，得，-1＜x＜-[1/2]，或x＞1．
由f′（x）＜0，得-[1/2＜x＜0，或0＜x＜1．
所以f（x）的单调递增区间为（-1，-
1
2]）和（1，+∞），
f（x）的减区间为（-[1/2]，0）和（0，1）．

x （-1，-[1/2]） -[1/2] （-[1/2]，0） （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 - - 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ ↓ 极小值 ↑ ∴极大值f（-[1/2]）=-2-2ln2，极小值f（1）=-1+2ln2．
（II）若f（x）为增函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≥0恒成立，
即
ax2−x−1
x2(x+1)≥0，变形，得a≥
x+1
x2；
当x∈[2，4]时，[x+1
x2＝
1/x+
1
x2≤
3
4]，
∴a≥
3
4．
若f（x）为减函数，则当x∈[2，4]时，f（x）≤0恒成立，
即
ax2−x−1
x2(x+1)≤0，变形得a≤[x+1
x2，
当x∈[2，4]时，
x+1
x2=
1/x+
1
x2≥
5
16]，∴a≤[5/16]，
综上所述：a≥
3
4或a≤
5
16．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的单调区间、极值的求法，考查实数取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．