设定义在[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：

解题思路：（1）由f（2-x）=f（x）知，函数f（x）图象关于直线x=1对称，则根据②可知：对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
两者结合即得；
（2）先利用单调函数的定义证明f（x）在[0，1]上是不减函数，利用f(

1

3n−1

)＝f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)≥f(

1

3n

+

1

3n

)+f(

1

3n

)−1≥3f(

1

3n

)−2，进行放缩结合等比数列的求和即得；（3）对于任意x∈（0，1]，则必存在正整数n，使得

1

3n

≤x≤

1

3n−1

．因为f（x）在（0，1）上是不减函数，所以f(

1

3n

)≤f(x)≤f(

1

3n−1

)，由（2）知f(

1

3n−1

)≤

2

3n−1

+1＝6

1

3n

+1≤6x+1，结合题中条件充分利用赋值法及不等式的性质即可．

证明：（1）由f（2-x）=f（x）知，函数f（x）图象关于直线x=1对称，
则根据②可知：对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1．…（2分）
（2）设x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁∈[0，1]．
∵f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1≥0，
∴f（x）在[0，1]上是不减函数．…（4分）
∵f(
1
3n−1)＝f(
1
3n+
1
3n+
1
3n)≥f(
1
3n+
1
3n)+f(
1
3n)−1≥3f(
1
3n)−2，
∴f(
1
3n)≤
1
3f(
1
3n−1)+
2
3≤
1
32f(
1
3n−2)+
2
32+
2
3≤…≤
1
3nf(
1
3n−n)+
2
3n+…+
2
3
=
1
3n−1+1−
1
3n＝
2
3n+1．…（8分）
（3）对于任意x∈（0，1]，则必存在正整数n，使得
1
3n≤x≤
1
3n−1．
因为f（x）在（0，1）上是不减函数，所以f(
1
3n

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的性质、函数单调性的判断与证明、数列知识与函数知识的综合问题．解答关键在于对赋值法的熟练应用．