已知不等式a+2b+3＞（m2-m）（a+2b）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（ ）
已知不等式a+2b+3＞（m2-m）（
+2
）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-3，2）
B．（-2，4）
C．（-1，2）
D．（-1，4）
| a |
| b |
A．（-3，2）
B．（-2，4）
C．（-1，2）
D．（-1，4）
赞 jiazhe1 春芽
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解题思路：将原不等式化为m2-m＜
，利用基本不等式得a+2b+3=（a+1）+2（b+1）≥2（
+2
），求出
的最小值，再求出m的范围．
| a+2b+3 | ||||
|
| a |
| b |
| a+2b+3 | ||||
|
原不等式化为：m2-m＜
a+2b+3
a+2
b，对任意正数a，b都成立，
因为a+2b+3=（a+1）+2（b+1）≥2
a+2×2
b=2（
a+2
b），
当且仅当a=b=1时取等号，
所以
a+2b+3
a+2
b≥2，即当a=b=1时
a+2b+3
a+2
b的最小值是2，
所以m2-m＜2，则m2-m-2＜0，解得-1＜m＜2，
则实数m的取值范围是（-1，2），
故选：C．
点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用．
考点点评： 本题考查不等式的性质，基本不等式的灵活应用求最值，以及恒成立问题，属中档题．
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