例8 已知a是正整数,且a2+2004a是一个正整数的平方,求a的最大值.

已知a是正整数,且a²+2004a是一个正整数的平方,求a的最大值.
依题意设a²+2004a=m²,m为正整数,整理为：
a²+2004a-m²=0
把上式看作一个关于a的一元二次方程,直接由求根公式得出：
a=[-2004±√(2004²+4m²)]/2
=-1002±√(1002²+m²)
其中负值舍去,所以只能是：
a=-1002+√(1002²+m²)
可以看作,要使a最大,就要使m最大即可,由于a是正整数,所以(1002²+m²)必须是完全平方数,可设(1002²+m²)=k²,整理为：
k²-m²=1002²
(k+m)(k-m)=2×2×3×3×167×167
显然k+m>k-m,二者奇偶性相同,所以有以下几种情形：
①
k-m=2
k+m=2×3×3×167×167=502002
解之,得：
k=251002
m=251000
②
k-m=2×3=6
k+m=2×3×167×167=167334
解之,得：
k=83670
m=83664
③
k-m=2×3×3=18
k+m=2×167×167=55778
解之,得：
k=27898
m=27880
④
k-m=2×167=334
k+m=2×3×3×167=3006
解之,得：
k=1670
m=1336
由以上不难看出,m最大为：m=251000,可求得此时最大的a为：
a=250000

设a^2+2004 a=m^2 ( m>a)
则 (a+1002)^2=m^2+1002^2
(a+1002)^2-m^2=1002^2
(a-m+1002)(a+m+1002)=1002^2
注意到1002^2=1002*1002=2*501*1002=2*2*501*501=2*2*3*3*167*167
因为a-m+1002