已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．

解题思路：（1）根据函数为奇函数求出b，然后根据函数f（x）在x=1取得极大值2，建立a与c的方程组，解之即可求出函数y=f（x）的解析式；
（2）先求函数的定义域，讨论k与-1的大小，然后利用导数的符号确定函数的单调性即可．

（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f′（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴

f′(1)＝0
f(1)＝2⇒

3a+c＝0
a+c＝2.
解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴g′(x)＝−2x+(k+1)
1
x＝
−2x2+(k+1)
x
因为函数定义域为（0，+∞），所以
①当k=-1时，g'（x）=-2x＜0，
函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，
∴g′(x)＝
−2x2+(k+1)
x＜0．
∴函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得
−2x2+(k+1)
x＞0，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得−

k+1
2＜x＜

k+1
2，
结合x＞0，得0＜x＜

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题主要考查了函数解析式的求解，以及利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型，属于中档题．