已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），

解题思路：（1）由已知得f'（x）=3ax²+2bx+c，f'（0）=0，由此利用导数性质能求出[b/a]的取值范围．
（2）由已知得f（-2）=-8a+12a+d=0，从而f'（x）=3ax²+6ax，令f'（x）=0，x=0或x=-2．列表讨论能求出实数a的取值范围．

（1）因为f（x）=ax³+bx²+cx+d，
所以f'（x）=3ax²+2bx+c．
又f（x）在x=0处有极值，
所以f'（0）=0即c=0，
所以f'（x）=3ax²+2bx．
令f'（x）=0，所以x=0或x＝−
2b
3a．
又因为f（x）在区间（-6，-4），（-2，0）上单调且单调性相反，
所以−4≤−
2b
3a≤−2所以3≤
b
a≤6．（5分）
（2）因为b=3a，且-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一个零点，
所以f（-2）=-8a+12a+d=0，
所以d=-4a，从而f（x）=ax³+3ax²-4a，
所以f'（x）=3ax²+6ax，令f'（x）=0，所以x=0或x=-2．（7分）
列表讨论如下：

x-3（-3，-2）-2[（-2，0）0（0，2）2
a＞0a＜0a＞0a＜0a＞0a＜0
f'（x）+-0-+0+-
f（x）-4a↗↘0↘↗-4a↗↘16a所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a．
当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a．
从而



a＞0
16a≤2
−4a≥−3或



a＜0
16a≥−3
−4a≤2，即0＜a≤
1
8或−
3
16≤a＜0
所以存在实数a∈[−
3
16，0)∪(0，
1
8]，满足题目要求． （13分）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．