（2013•郴州模拟）如图，已知AB=10，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为斜边作直角△ACD、直角△BCE，且

解题思路：根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD和∠BCE，然后求出∠DCE=90°，（1）根据中点定义可得AC=BC，然后求出AD=CE，CD=BE，再利用“边角边”即可证明三个三角形全等；（2）设AC=x，表示出CD、BC和CE，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似分情况列式求解即可；（3）根据直角三角形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题解答；（4）延长AD、BE相交于点F，求出∠AFB=90°并得到四边形CDFE是矩形，连接CF，根据矩形的性质可得点M是CF的中点，从而得到点M的运动轨迹是△ABF的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得点M的运动距离=12AB．

∵△ACD、△BCE都是直角三角形，∠A=60°，∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∠BCE=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴∠DCE=180°-30°-60°=90°，
（1）点C运动到AB的中点时，AC=BC=[1/2]AB=[1/2]×10=5，
∴AD=CE=[1/2]AC=[1/2]×5=2.5，CD=BE=

3
2AC=
5
3
2，
又∵∠ADC=∠DCE=∠BEC=90°，
∴△ACD≌△BCE≌△DCE；

（2）设AC=x，则CD=

3
2x，
BC=AB-AC=10-x，
CE=[1/2]BC=[1/2]（10-x），
∵△ACD、△BCE和△DCE相似，
∴[CD/CE]=[AD/CD]或[CD/CE]=[CD/AD]，
即


3
2x

1
2(10−x)=

3
3或


3
2x

1
2(10−x)=
3，
解得x=2.5或x=5；

（3）△DCE的面积=[1/2]CD•CE，
=[1/2]•

3
2x•[1/2]（10-x），
=-

3
8（x-5）²+
25
3
8，
∴当x=5，即点C运动到AC=5时，△DCE有最大面积，最大面积是
25
3
8；

（4）延长AD、BE相交于点F，
∵∠A=60°，∠B=30°，
∴∠AFB=180°-60°-30°=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
连接CF，∵点M是DE的中点，
∴点M也是CF的中点，
∴点M的运动轨迹是△ABF的中位线，
点M运动的距离=[1/2]AB=[1/2]×10=5．

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题是相似形综合题，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，全等三角形的判定，相似三角形的性质，二次函数的最值问题，三角形的中位线定理，（4）判断出点M的运动轨迹是三角形的中位线是解题的关键．