如图,正方形ABCD的边长为2,截去四个角后得到正八边形EFGHLMNP,求证八边形的边长及面积

设正八边形的边长是a,即MN=ML=LH=a.
所以,得DM=LC=a/根号2
所以,有:DM+ML+LC=2
即:a/根号2+a+a/根号2=2
(2+根号2)a=2根号2
a=2根号2/(2+根号2)=2/(根号2+1)=2(根号2-1)
即边长是2(根号2-1)
那么DM=2(根号2-1)*根号2/2=2-根号2.
所以,三角形DMN的面积S=1/2*DM^2=1/2*(2-根号2)^2=1/2*(6-4根号2)=3-2根号2.
大正方形的面积=2*2=4
所以,正八边形的面积=4-4S(DMN)=4-4(3-2根号2)=8根号2-8

正八边形的每个内角=360/8=45°
设正八边形边长为x，
则：x+2xcos45°=2
x=2/(根号2+1)=2(根号2-1)
正八边形周长=8x=16(根号2-1)
正八边形面积=原正方形面积-四个直角等腰三角形面积
=2*2-4*1/2*(x根号2/2)^2=4-2*[2(根号2-1)*根号2/2]^2=4-2(2-根号2)^2
=...

设DN=x，则MN=√2x,AE=x,
√2x=2-2x
x=2/(2+√2)=2-√2
边长=√2（2-√2）=2√2-2
面积=2×2-4×（2-√2）²÷2=8√2-8