已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点A（1， ），且离心率e= ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点A（1， ），且离心率e= ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（﹣1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）由已知e= = ，即c ² = a ² ，b ² =a ² ﹣c ² = a ² ，
∴
∵椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点A（1， ），
∴
∴a ² =2，
∴b ² =1，
∴椭圆C的方程为 +y ² =1．
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（﹣1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=﹣1，代入 +y ² =1得y=± ，可知M（﹣1， ），N（﹣1， ）
∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O当直线l的斜率存在时，
设方程是y=k（x+1），M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ）
由 ，可得（1+4k ² ）x ² +8k ² x+4k ² ﹣4=0
∴x ₁ +x ₂ = ，x ₁ x ₂ = ，
因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以 =0．
可得x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ =x ₁ x ₂ +k（x ₁ +1）k（x ₂ +1）=（1+k ² ）x ₁ x ₂ +k ² （x ₁ +x ₂ ）+k ² =0．
∴（1+k ² ）× +k ² × +k ² =0．
∴k=±2
综上所述，过点B（﹣1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，方程为y=2x+2或y=﹣2x﹣2．