一元三次函数f(x)的三次项系数为a/3,f(x)+9x

三次函数性质的探索
云南省昆明市粤秀中学　段培吉
提要
本文通过对一次函数、二次函数知识的回顾,利用几何画板为工具,对三次函数的单调性、有没有极值的问题进行探索研究,经过大量的实验验证,对函数的单调性、有没有极值可以运用函数f(x)的导数函数的判别式进行判断．从而找到了三次函数的性质,为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据．为解决高考中三次函数单调性、极值以及借助极值证明不等式等问题找到了有效的解决方法．
主题词 探索 三次函数的性质
极值
我们已经学习了一次函数,知道图象是单调递增或单调递减,在整个定义域上不存在最大值与最小值,在某一区间取得最大值与最小值．那么,是什么决定函数的单调性呢?利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k0、,在图6中a0、或a0、或a0、或a0
根据以上性质可以灵活解决三次函数问题：
例1、设,讨论关于x的方程的相异实根的个数?
分析：要讨论方程根的个数,直接求解非常困难,根据题意,需把方程转化为函数问题,即方程变成,设,这转化为讨论函数与交点的个数．
函数的导数的两根为(如图16)
函数的极大值是,函数的极小值是,
（1）当或时,函数与只有一个交点,即方程只有一个根．
（2）当或时,函数与只有两个交点,即方程只有两个根．
（3）当时,函数与有三个交点,方程有三个根．
图16
例2、已知函数是R上的奇函数,当时f(x)取得极值．
（1）求f(x)的单调区间和极大值；
（2）证明对任意,不等式恒成立．
（1）函数f(x)是奇函数,所以,函数f(x)的导数依题意得,解得
所以导数,(如图17)
　　时,函数f(x)单调递增；
时,函数f(x)单调递减；所以．
（2）如图17 对任意, 函数f(x)单调递减,所以
图17
一般地在导数有两根且时,在处；在处,对任意都有
因此,我们利用信息技术能够轻松研究三次（高次）函数的性质,同时验证了高次函数与导数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,充分利用好信息技术的直观显示,能更有效解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决办法．

求什么的，问题不全