红了的西瓜 幼苗
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n |
2 |
n+1 |
2 |
n |
2 |
(1)Sn+1=a2Sn+a1…①,
当n=1时代入①,得S2=a2S1+a1,解得a1=1;
由①得Sn=a2Sn-1+a1,两式相减得an+1=a2an(n≥2),
∴
an+1
an=a2,
∴{an}为公比为2的等比数列,
∴an=2n−1.
(2)证明:当n=1或n=2时,Sn=
n
2(a1+an),等号成立.
设n≥3,a2>-1且a2≠0,
由(1)知,a1=1,an=a2n−1,
∴要证的不等式化为:
1+a2+a22+…+a2n−1≤
n
2(1+a2n−1),n≥3,
即证:1+a2+a22+…+a2n≤
n+1
2(1+a2n),n≥2,
当a2=1时,上面不等式的等号成立.
当-1<a2<1时,a2r与a2r−1,(r=1,2,3,…,n-1)同为负;
当a2>1时,a2r−1与a2n−r-1,(r=1,2,2,…,n-1)同为正;
因此当a2>-1且a2≠1时,总有 (a2r−1)(a2n−r−1)>0,
即a2r+a2n−r<1+a2n,(r=1,2,3,…,n-1).
上面不等式对r从1到n-1求和得,
2(a2+a22+…+a2n−r)<(n-1)(1+a2
点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;等比数列的前n项和;等比关系的确定.
考点点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
1年前
数列{an}满足Sn+Sn+1=5/3an+1,a1=4求an
1年前2个回答
数列{an}的Sn满足Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,求an
1年前1个回答
你能帮帮他们吗