已知5x+12y=60,求根号下[x-4]²+y²的最小值,

方法一：代入消元配方法
将x=12-12y/5代入(x-4)²+y²,展开化简,得y的一元二次形式,然后配方求最小值.
(x-4)²+y²=(12-12y/5-4)²+y²
=169y^2/25-192y/5+64
=1/25*(169y^2-960y)+64
=1/25*[(13y-480/13)^2-230400/169]+64
=[(13y-480/13)^2]/25-9216/169+64
=[(13y-480/13)^2]/25+1600/169
故当且仅当y=480/169,此时x=876/169时,√[(x-4)²+y²]取最小值40/13.
方法二：利用基本不等式法
5x+12y=60
5(x-4)+12y=40
由于(a^2+b^2)(m^2+n^2)
=a^2m^2+b^2n^2+(a^2n^2+b^2m^2)
≥a^2m^2+b^2n^2+2√(a^2n^2*b^2m^2)
=a^2m^2+b^2n^2+2|ambn|
≥(am+bn)^2
故40^2=[5(x-4)+12y]^2≤(5^2+12^2)*[(x-4)²+y²]=13^2*[(x-4)²+y²]
故√[(x-4)²+y²]≥40/13
即最小值为40/13
当且仅当5y=12(x-4)且5x+12y=60,也即
x=876/169,y=480/169时取最小值40/13.
相比而言,似乎不等式法算起来更顺.