为什么某点二阶导存在能够说明一阶导在该点领域连续,而一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续?

为什么某点二阶导存在能够说明一阶导在该点领域连续,而一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续?
我看到很多解释：因为二阶导的定义用到一阶导,所以一阶导在该点连续.那么同样的一阶导在该点存在,为什么就不能说明原函数在该点领域连续呢?例子什么的我都明白,就是搞不清这个逻辑,
如果一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续那么是不是，二阶导存在也不能够说明一阶导在该点领域连续呢？
菠萝囡囡 1年前 已收到2个回答 举报
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一沙一世界1 幼苗

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我个人认为你有道理.
设f''(x0)=lim[f'(x)-f'(x0)]/(x-x0)存在,于是lim[f'(x)-f'(x0)]=0
上式仅仅说明f'(x)在x=0连续,当然可以说明f(x)在x=0的某个邻域连续.但f‘(x)在x=0的某个邻域连续的理由不充分.
这样一来：一阶导数存在,不能说明在该点邻域原函数连续
我认为在某点二阶导存在,那么一阶导在该点领域连续有问题.
暂且这样认为,我抽时间仔细想想.

1年前 追问

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菠萝囡囡 举报

是的，我也这么认为，而且我还特意买了两本参考书，书上并没有说f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在，他还提到如果在某点三阶可导，运用罗比达法则的时候一阶、二阶可以三阶就要用定义，那么如果仅仅只是说f‘(x)在邻域存在，而罗比达不是要求领域是可导的吗？如果邻域可导不就说邻域连续吗？这又跟f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在违背了。。。啊，纠结啊，谁来救救我！

举报 一沙一世界1

我想了下，前面我的回答是对的，即：在某点二阶导存在，不能确定一阶导在该点领邻域连续。 但你举的例子不完全说明问题：设f(x)在某点三阶可导,对于具体的函数，可以求出一阶、二阶并可判断是否连续。但对于涉及抽象的函数，用一次罗比达法则没问题，但用两次罗比达法则就有点问题。

菠萝囡囡 举报

我今天也好好研究了一下，我觉得f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说明f‘(x)在邻域导数是存在的，并不能证明连续。洛必达也可以用两次，因为求f'（x）可以用一次,然后可以再用一次求f'‘（x），因为f(x)领域可导与f'(x)领域也是可导的。

quanzchanghty 幼苗

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可导必定连续
但连续不一定可导。
一阶导数存在,定能说明在该点领域原函数连续。不对啊，比如f(x)=x^2D(X),D(X)是狄利克雷函数，根据导数的定义f(x)在0导数是0，但是，原函数在0的领域不连续！对啊，“狄利克雷函数”特点是处处不连续、处处不可导。图象存在但不能画出但是在X=0处f(x)=（x^2）*D(X)是可导的！你可以看下这个帖子，里面有举例！http://tieb...

1年前

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