（2010•温州一模）已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）=f(n)−1f(n)，f(n)＞12f(n)，f

解题思路：欲求出对任意的n∈N^*总有f（n+3）=f（n）成立时a在（0，1]内的可能值，只须考虑n=1时，使得方程f（4）=f（1）的a在（0，1]内的可能值即可．对a进行分类讨论，结合分段函数的解析式列出方程求解即可．

∵0＜a≤1，
∴f（2）=2f（1）=2a，
①当0＜a≤[1/4]时，0＜2a≤[1/2]，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此时f（4）=f（1）不成立；
②当[1/4]＜a≤[1/2]时，[1/2]＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=
f(3)−1
f(3)=[4a−1/4a]，
此时f（4）=f（1）⇔[4a−1/4a]=a⇔a＝
1
2；
③当[1/2]＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=
f(2)−1
f(2)=[2a−1/2a]≤
1
2，
∴f（4）=2f（3）=[2a−1/a]，
此时f（4）=f（1）⇔[2a−1/a]=a⇔a=1；
综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
则a在（0，1]内的可能值有两个．
故选B．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．