设f（x）=limt→∞t2[g（2x+1t）-g（2x）]sinxt，且g（x）的一个原函数为ln（x+1），求∫10

设f（x）=
lim
t→∞
t2[g（2x+
1
t
）-g（2x）]sin
x
t
，且g（x）的一个原函数为ln（x+1），求
∫10
f（x）dx．
anmenneiga 1年前 已收到1个回答 举报
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由f（x）=
lim
t→∞t2[g（2x+
1
t）-g（2x）]sin
x
t，得
f(x)＝
lim
t→∞
sin
x
t

x
t•
g(2x+
1
t)−g(x)

1
t＝xg′(2x)
∴
∫10f（x）dx=
∫10xg′(2x)dx＝
1
4
∫20tg′(t)dt
=
1
4[tg(t)
|20−
∫20g(t)dt]
而g（x）的一个原函数为ln（x+1），因此
g′(x)＝
1
1+x
∴
∫10f（x）dx=
1
4[
t
1+t
|20−ln(t+1)
|20]
=
1
4(
2
3−ln3)

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