Sinɑ+Cosɑ=1/2,则Cos2ɑ的值

1、证明a1
设在RT△ABC中,直角边为AC、BC,斜边为AB
∵AC+BC>AB
∴SinA+CosA=BC/AB+AC/AB=(AC+BC)/AB>1
∴Sinɑ+Cosɑ>1
2、证明,若π>a>3π/4,则Sinɑ+Cosɑ0,ɑ越大,(π-ɑ)越小,Sinɑ越小
Cosɑ=Cos(π-ɑ)3π/4
π/2AB
∴SinA+CosA=BC/AB+AC/AB=(AC+BC)/AB>1
2、证明π/2＜ɑ＜3π/4
Sinɑ+Cosɑ=1/20,ɑ越大,(π-ɑ)越小,Sinɑ越小
Cosɑ=Cos(π-ɑ)0
∴|Sinɑ|>|Cosɑ|
当ɑ=3π/4=135°时,|Sinɑ|=|Cosɑ|,即Sinɑ+Cosɑ=0
∴π/2＜ɑ＜3π/4
∴π＜2ɑ＜3π/2,Cos2ɑ

根据(Cosɑ)^2+(sinɑ)^2=1和已知条件就可以解出Cosɑ,sinɑ
Cos2ɑ=CosɑCosɑ-SinɑSinɑ=(Sinɑ+Cosɑ)(Cosɑ-Sinɑ)=(Cosɑ-Sinɑ)/2
代入Cosɑ,sinɑ就可以解出

sina+cosa=根号2 *sin(a+pi/4)=1/2
故sin(a+pi/4)< 根号2/2 故pi>a+pi/4>3pi/4

Sin2a=14
根据(Cosɑ)^2+(sinɑ)^2=1
求Cos2ɑ

Sinɑ+Cosɑ=1/2说明π/2＜a＜3π/4
故π＜2a＜3π/2
故Cos2ɑ<0
明白了吗?
补充说明：
若a<π/2，则Sinɑ+Cosɑ>1
若a>3π/4，则Sinɑ+Cosɑ<0
故π/2＜a＜3π/4
再补充:
已知0＜ɑ＜π,且a不小于π/2,a不大于3π/4,剩下的不就是π/2＜a＜3π/4了吗?

∵Sinɑ+Cosɑ=1/2
Sinɑ^2+Cosɑ^2=1
∴Sinɑ*Cosɑ=-3/8
0＜ɑ＜π
Sinɑ>0
∴Cosɑ<0,Cosɑ-Sinɑ<0
Cos2ɑ=(Sinɑ+Cosɑ)(Cosɑ-Sinɑ)=1/2*[-√(7/4)]=-√7/4