(2013•安庆三模)已知函数f(x)=ax3-8x与g(x)=bx2+cx的图象都过点P(2,0),且它们在点P处有公

(2013•安庆三模)已知函数f(x)=ax3-8x与g(x)=bx2+cx的图象都过点P(2,0),且它们在点P处有公共切线.
(1)求函数f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程;
(2)设F(x)=
mg(x)
8x
+ln(x-1),其中m∈R,求F(x)的单调区间.
程子曰 1年前 已收到1个回答 举报

lukelin5418 幼苗

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解题思路:(1)求导数,利用图象都过点P(2,0),在点P处有公共切线,建立方程,即可求得结论;
(2)求导数,分类讨论,利用导数的正负,可得函数的单调区间.

(1)∵f(x)=ax3-8x过点P(2,0),
∴a=2,f(x)=2x3-8x,…(2分)
∵f′(x)=6x2-8,∴切线的斜率k=f′(2)=16.
∵g′(x)=2bx+c,f′(2)=g′(2)=4b+c=16…(1)
又∵g(x)=bx2+cx的图象过点P(2,0),∴4b+2c=0…(2)
联立(1)(2)解得:b=8,c=-16 …(4分)
∴g(x)=8x2-16x;
切线方程为y=16(x-2),即16x-y-32=0…(6分)
(2)∵F(x)=
mg(x)
8x+ln(x-1)=m(x-2)+ln(x-1),
∴F′(x)=m+[1/x−1]=
m[x−(1−
1
m)]
x−1(x>1)…(9分)
①当m<0时,1−
1
m>1.
又x>1,∴当x∈(1,1−
1
m)时,F′(x)>0;
当x∈(1−
1
m,+∞)时,F′(x)<0.
∴F(x)的单调减区间是(1−
1
m,+∞),单调增区间是(1,1−
1
m);…(11分)
②当m≥0时,显然F(x)没有单调减区间,单调增区间是(1,+∞).…(13分)

点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,正确求导,合理分类是关键.

1年前

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