已知函数f（x）=x3-3ax2-3（2a+1）x-3，x∈R，a是常数．

解题思路：（1）先求导函数f′（x）=3x²-3x-6，求得函数的极值，根据零点定理及函数的单调性，从而可得f（x）在区间（-3，-1）、（-1，2）上各有且仅有一个零点，在区间（2，3）上没有零点；
（2）问题等价于∀x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立，再用分离参数得a＜

x2

2(x+1)

，利用基本不等式可求f(x)＝

x2

2(x+1)

的最值．

（1）a＝
1
2，f(x)＝x3−
3
2x2−6x−3，f′（x）=3x²-3x-6…（1分），
解f′（x）=0得x₁=-1，x₂=2…（2分），

x [-3，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3]
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增…（4分）
f(−3)＝−
51
2，f(−1)＝
1
2，f（2）=-13，f(3)＝−
15
2…（5分），
因为f（-3）f（-1）＜0、f（-1）f（2）＜0、f（2）f（3）＞0，根据零点定理及函数的单调性，f（x）在区间（-3，-1）、（-1，2）上各有且仅有一个零点，在区间（2，3）上没有零点，…（6分），即f（x）在区间（-3，3）上共有两个零点…（7分）．
（2）f′（x）=3x²-6ax-3（2a+1）…（8分），由f′（x）＞-3即3x²-6ax-3（2a+1）＞-3得∀x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立…（10分），因为x＞-1，x+1＞0，所以a＜
x2
2(x+1)…（11分），
设f(x)＝
x2
2(x+1)，则f(x)＝
x2
2(x+1)＝
1
2[(x+1)+
1
x+1]−1≥0，等号当且仅当x=0时成立…（13分），
所以a＜0…（14分）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查利用导数求函数的极值及函数零点的求解，恒成立问题利用分离参数法求解．