班迁
幼苗
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答:
a=1/2,f(x)=x^2+2x+a/x=x^2+2x+1/(2x),x>=1
求导:f'(x)=2x+2-1/(2x^2)>0
所以:f(x)在定义域内是增函数
所以:x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1+2+1/2=7/2
a=1/2,f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+2+1/(2x)>=2+2√(1/2)=2+√2
当且仅当x=1/(2x)即x=√2/2时取得最小值
所以:x>√2/2时f(x)是增函数
所以:x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1+2+1/2=7/2
1年前
追问
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NUKA
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,f(x)=x²+2x+1/2x,这个函数可以看做是由g(x)=x²与h(x)=2x+1/2x所构成的,而这两个函数在[1,正无穷)均为增函数,所以其和函数即f(x)也是增函数,所以其最小值就是f(1)=7/2。 这个也是书上给的答案 可以解释下吗 为什么h(x)=2x+1/2x在[1,正无穷)为增函数?2x是增,但1/2x是减函数啊 增+减=?。。
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班迁
嗯,h(x)是对勾函数,其值大于等于2,故大于1/
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班迁
嗯,h(x)是对勾函数,其值大于等于2,故大于1/
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班迁
嗯,h(x)是对勾函数,其值大于等于2,故大于1/
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班迁
嗯,h(x)是对勾函数,其值大于等于2,故大于1/2是增函数
NUKA
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化简后的式子单调性是需要证明的是吧?而不是看一眼就知道对吧?导数法或者是基本不等式法对吧?
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班迁
一般来说,有些函数是可以直接说出其增减性的。导数或定义法都可以