群和子群有这个一个题,实在不懂,有哪位大虾帮帮忙证明,设G是交换群,证明G中一切有限阶元素所成集合H是G的一个子群

ddbi65839 1年前 已收到2个回答 举报
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gzlili 幼苗

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只需证明H满足群的三个定义：
1、单位元：G中的单位元1是有限阶元素,所以1属于H,满足单位元定义.
2、封闭性：设a、b是H中任意两个元素,且有a^m=b^n=1, n、m为正整数,则(ab)^(mn) = 1, (由交换性即可得).
3、逆元：设a为H中任一元素,且有a^m=1,则a的逆元为a^(m-1),又因为(a^(m-1))^m=1,所以a^(m-1)属于H,则a在H中存在逆元.

1年前

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jy3514953 幼苗

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证明设a,b属于H，则a,b均是有限阶元素，不妨设a,b的阶分别是m,n,则a^n=幺元,b^m=幺元故有(ab^-1)^(mn)为幺元，ab^-1也是有限阶元素，ab^-1属于H，由子群判定定理可知H是G的一个子群

1年前

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