已知数列{an}的首项a1=[2/3]，an+1=2anan+1，n=1，2，3，…．令bn=[1an-1．

解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出1+1an=2an+1，从而得到12(1an−1)＝1an+1−1，再由1a1−1＝32−1＝12，能证明{bn}是首项为12，公比为12的等比数列，由此得到bn=1an-1=(12)n．（Ⅱ）由cn=2n•bn=2n•（12）n，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．

（Ⅰ）证明：∵a_n+1=
2an
an+1，
∴an+1an +a_n+1=2a_n，∴1+
1
an=
2
an+1，
∴
1/2+
1
2an＝
1
an+1]，∴[1/2(
1
an−1)＝
1
an+1−1，
∵a1＝
2
3]，∴[1
a1−1＝
3/2−1＝
1
2]，
∵b_n=[1
an-1，∴{b_n}是首项为
1/2]，公比为[1/2]的等比数列，
∴b_n=[1
an-1=(
1/2)n．
（Ⅱ）∵c_n=2n•b_n=2n•（
1
2]）ⁿ，
∴T_n=2•[1/2]+4•[1
22+6•
1
23+…+2n•
1
2n，①

1/2Tn=2•
1
22]+4•[1
23+6•
1
24+…+2n•
1
2n+1 ，②
∴①-②，得
1/2Tn=1+
1
2]+[1
22 +…+
1
2n−1-
n
2n
=
1−
1
2n
1−
1/2]-
n
2n
=2-
n+2
2n．
∴Tn =4-
n+2
2n−1．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．