X>0时,证明不等式ln(1+x)>x-1/2x成立

令f(x)=ln(1+x)-[(x-1)/2x],则f'(x)=[1/(x+1)]-(1/2x^2)=[(2x^3+2x^2)/(2x^2-x-1)]因为x>0,所以2x^3+2x^2>0令g(x)=2x^2-x-1=2[x-(1/4)]^2-(9/8)当g(x)=0时,x=-(1/2)或x=1因为x>0,根据函数g(x)=2x^2-x-1图像,当00,所以f(x)在区间(1,+∞）上递增所以当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)=ln2>0所以ln(1+x)>(x-1)/2x

令f(x)=ln(1+x)-x+1/2x,f'(x)=1/1+x-1-1/2x^2，f'(x)=1/2*[(x-1)*(2x^2+2x+1)/(1+x)*x^2，当x>1时f(x)为增函数，00，所以当x>0时，f(x)>0恒成立，即不等式ln(1+x)>x-1/2x成立