如图，A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点，椭圆C的离心率为[1/2]，右准线l的方程为x=4．

如图，A，B是椭圆

=1（a＞b＞0）的左、右顶点，椭圆C的离心率为[1/2]，右准线l的方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P，以MP为直径的圆记为⊙k．
（i）若M恰好是椭圆C的上顶点，求⊙k截直线PB所得的弦长；
（ii）设⊙k与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点的坐标．

紫玫 1年前已收到1个回答举报

sunbaby0330 幼苗

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解题思路：（I）由离心率为[1/2]，得[c/a＝

2]，由右准线l的方程为x=4，得

＝4．再根据b²=a²-c²联立方程组解出即可；
（II）（i）由条件易求直线AM的方程，从而可得P点坐标，进而可求得⊙k的方程，求出圆心到直线PB的距离，利用勾股定理即可求得弦长一半；（ii）设M（x₀，y₀）（y₀≠0），可表示出直线AM的方程，进而表示出P的坐标，由MB⊥PR可求得直线PR的方程，令y=0即可得打点R的横坐标，再根据点M在椭圆上即可求得x_R值，从而可证明结论；

（I）由题意得，

c
a＝
1
2

a2
c＝4，解得

a＝2
c＝1，又b²=a²-c²=3，
故所求椭圆的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（II）（i）因为M（0，
3），所以直线AM的方程为y=

3
2x+
3，
则点P的坐标为P（4，3

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及直线方程求法，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，有一定难度．

1年前

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