（2008•闸北区二模）如图，椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．

解题思路：（I）设点P的坐标（x，y），再构造函数f（x）=|PF₁|²，代入两点间的距离公式并进行化简，利用二次函数的性质和x的范围，求出函数的最值以及对应的x的取值，即得到证明；
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，再由b²=a²-c²求出b，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一个二次方程，再由题意和韦达定理列出方程组，根据题意得kAA2•kBA2＝−1，代入后得列出关于m的方程，进行化简、求解，注意对应题意进行验证．

（Ⅰ）设p（x，y），则
x2
a2+
y2
b2＝1，且F₁（-c，0），
设f（x）=|PF₁|²，则f（x）=（x+c）²+y²=
c2
a2x2+2cx+c2+b2，
∴对称轴方程x＝−
a2
c，由题意知，−
a2
c≤−a恒成立，
∴f（x）在区间[-a，a]上单调递增，
∴当x取-a、a时，函数分别取到最小值与最大值，
∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF₁|取得最小值与最大值；
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为
x2
4+
y2
3＝1．
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y＝kx+m

x2
4+
y2
3＝1.得，（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，则

△＝64m2k2−16(3+4k2)(m2−3)＝3+4k2−m2＞0
x1+x2＝−
8mk
3+4k2
x1•x2＝
4(m2−3)
3+4k2
又∵y1y2＝(kx1+m)(kx2+m)＝k2x1x2+mk(x1+x2)+m2＝
3(m2−4k2)
3+4k2，
∵椭圆的右顶点为A₂（2，0），AA₂⊥BA₂，∴kAA2•kBA2=-1，
即
y1
x1−2•
y2
x2−2＝−1，∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴
3(m2−4k2)
3+4k2+
4(m2−3)
3+4k2+
16mk
3+4k2+4＝0，
化简得，7m²+16mk+4k²=0，
解得，m₁=-2k，m2＝−
2k
7，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m2＝−
2k
7时，l的方程为y＝k(x−
2
7)，直线过定点(
2
7，0)．
所以，直线l过定点，定点坐标为(
2
7，0)．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了利用构造函数的方法处理最值问题，主要利用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力，最后对应题意进行验证这是易错的地方．