（2008•闸北区二模）椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭圆C的长轴与短轴的端

（2008•闸北区二模）椭圆C：

＝1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x₀，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A₁、A₂处时，|PM|取得最大值与最小值，求x₀的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA₂⊥BA₂．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．

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xiaoping_2004 幼苗

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解题思路：（1）先设出P点坐标，用P，M点坐标表示|PM|的平方，得到PM|的平方可看成是关于x的二次函数，再根据x的取值范围，求出PM|的平方的范围，进而得到x₀的取值范围．
（2）先根据椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l求出椭圆方程，再与直线l：y=kx+m联立，得到x₁x₂，x₁+x₂，再根据AA₂⊥BA₂，AA₂与BA₂斜率之积为-1，，求m的值，若能求出，则直线l过定点，若不能求出，则直线l不过定点．

（1）设P（x，y）且
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0）
则f(x)＝|PM|2＝(x−x0)2+y2＝
c2
a2x2−2x0x+x02+b2，则对称轴方程为x＝
a2
c2x0，
由题意只有当
a2x0
c2≥a或
a2x0
c2≤−a时满足题意，所以x0≥
c2
a或x0≤−
c2
a
故x₀的取值范围是(−∞，−
c2
a]∪[
c2
a，+∞)．
（2）因为|c|＞
c2
a所以由（1）得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为
x2
4+
y2
3＝1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查了直线与椭圆位置关系，计算量较大，做题时应认真，避免出错．

1年前

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