已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为32的菱形，∠AA1C1为锐角，侧面ABB1A1⊥AA1C1C

解题思路：（Ⅰ）要证：AA₁⊥BC₁，先说明△AA₁B是等边三角形，设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，证明AA₁⊥平面BC₁D，即可．
（Ⅱ）根据上一问得到的结论，OA、OC₁、OB两两垂直以O为原点，建立如图空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，和向量的坐标，根据点到平面的距离公式得到结果．
（Ⅲ）根据上一问做出的平面的法向量，和另一个平面的在图形中存在的法向量，用两个法向量所成的角，得到两个平面之间的夹角的余弦．

（Ⅰ）证明：因为四边形AA₁C₁C是菱形，所以有AA₁=A₁C₁=C₁C=CA=1．
从而知△AA₁B是等边三角形．（2分）
设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，
则BD⊥AA₁，由 S菱形A A1C1C =

3
2．
知C₁到AA₁的距离为

3
2．∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等边三角形，（4分）
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁⊂平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C₁O⊥AA₁，BO⊥AA₁
∵平面ABB₁A₁⊥平面AA₁C₁C，
∴BO⊥平面AA₁C₁C，C₁O⊂平面AA₁C₁C
BO⊥C₁O
∴OA、OC₁、OB两两垂直，…（6分）
以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则：
O（0，0，0），A（0，[1/2]，0），A₁（0，-[1/2]，0），B（0，0，

3
2），C1(

3
2，0，0)．…（7分）
设

n=(x，y．z)
是平面ABC的一个法向量，
则-
1
2y+

3
2z=0，

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查直线与平面的垂直，考查空间想象能力，逻辑思维能力，考查用空间向量来解决立体几何距离和面面之间的夹角的问题，是中档题．