（2014•广州模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正

（Ⅰ）设正方形AA₁C₁C的边长为x，由于E是A₁B的中点，△EAB的面积为定值．
∵CC₁∥平面AA₁B，
∴点F到平面EAB的距离为定值，即为点C到平面平面AA₁B的距离
又V_E-ABF=V_F-ABE，且VF−ABE＝
1
3S△ABE•h=

3
3
即
1
3•
1
2•x•
x
2•

3
2x＝

3
3，
∴x³=8，x=2
（Ⅱ）解法一：将侧面BCC₁B₁展开到侧面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，连结A₁B，交C₁C于点F，此时点F使得A₁F+BF最小．此时FC平行且等于A₁A的一半，
∴F为C₁C的中点．
取AB中点O，连接OE，EF，OC，
∴OEFC为平行四边形，
∵△ABC为正三角形，
∴OC⊥AB，又AA₁⊥平面ABC，
∴OC⊥AA₁，且AB∩AA₁=A，
∴OC⊥平面A₁AB，
∵AE⊂平面A₁AB，
∴OC⊥AE，又EF∥OC，
∴AE⊥EF
由于E是A₁B的中点，所以AE⊥A₁B，又A₁B∩EF=E，
所以直线AE与平面A₁FB垂直

解法二：将侧面BCC₁B₁展开到侧面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，连结A₁B，交C₁C于点F，此时点F使得A₁F+BF最小．此时FC平行且等于A₁A的一半，
∴F为C₁C的中点．
过点E作EG∥A₁F交BF于G，则G是BF的中点，EG＝
1
2A1F＝

5
2．
过点G作GH⊥BC，交BC于H，则GH＝
1
2FC＝
1
2．
又AH＝

点评：
本题考点： 平面与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查了锥体 的体积，线段的长度以及线面垂直的判定与性质属于中高档题