请教一个特征向量的问题有3阶实对称矩阵A的特征值c1=1,c2=2,c3=-2,且a1=(1,-1,1)T是A的属于c1

请教一个特征向量的问题
有3阶实对称矩阵A的特征值c1=1,c2=2,c3=-2,且a1=(1,-1,1)T是A的属于c1的一个特征向量,记B=(A^5)-(4A^3)+E,其中E为3阶单位矩阵.求矩阵 B
上面是我在书中抄下来的一道题,书中的解答其它部分我看得懂,只有一部分解答有疑问：书中的解答先证明B的特征值是c4=c5=1,c6=-2,以及a1是B的对应于特征值-2的特征向量,然后根据对称阵不同特征值对应的特征向量正交这个原理,列出方程x1-x2+x3=0,求出基础解系a2=(1,1,0)T a3=(-1,0,1)T,然后就说B属于特征值1的特征向量是k2a2+k3a3(k2,k3不全为0)
上面解答中的"B属于特征值1的特征向量是k2a2+k3a3(k2,k3不全为0)"这一句我有个问题：x1-x2+x3=0求出的是和a1正交的所有向量,而B对应于1的特征向量应该只是方程所有解中的一部分,但是这一句明显是在说方程的解中只要是不为0的都是B对应于1的特征向量,这是怎么回事,书中的定理只说明了对称阵的不同特征值对应的特征向量正交,但是这并不意味着凡是和对称阵的一个特征向量正交的所有非0向量就一定也是对称阵的对应于其它特征值特征向量啊,这是怎么回事,麻烦哪位能讲的详细一点