设f(x)=行列式,证明存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=0
设f(x)=行列式,证明存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=0
设f(x)= 行列式 1 1 1
3-x5-3x^2 3x^2-1
2x^2-1 3x^5-1 7x^3-1
,证明存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=0
设f(x)= 行列式 1 1 1
3-x5-3x^2 3x^2-1
2x^2-1 3x^5-1 7x^3-1
,证明存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=0
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从第2行减去第1行的2倍,在第3行加上第1行得:
1 1 1
1-x 3-3x² 3x²-3
2x² 3x⁵ 7x³
从第2行提出因子1-x,从第3行提出因子x²得:
1 1 1
1 3+3x -3-3x
2 3x³ 7x
从第2行减去第1行,从第2行减去第1行的2倍得:
1 1 1
0 2+3x -4-3x
0 3x³-2 7x-2
按第一列展开得:
2+3x -4-3x
3x³-2 7x-2
当x = 0时,上式 = -12 < 0,x = 1时,上式 = 32 > 0.
由连续性,存在ξ ∈ (0,1)使得x = ξ时上式得0.
进而有f(ξ) = 0.
1 1 1
1-x 3-3x² 3x²-3
2x² 3x⁵ 7x³
从第2行提出因子1-x,从第3行提出因子x²得:
1 1 1
1 3+3x -3-3x
2 3x³ 7x
从第2行减去第1行,从第2行减去第1行的2倍得:
1 1 1
0 2+3x -4-3x
0 3x³-2 7x-2
按第一列展开得:
2+3x -4-3x
3x³-2 7x-2
当x = 0时,上式 = -12 < 0,x = 1时,上式 = 32 > 0.
由连续性,存在ξ ∈ (0,1)使得x = ξ时上式得0.
进而有f(ξ) = 0.
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